三维变换

齐次坐标

齐次坐标，就是在传统坐标后面加入一维变量：C -> (C, W)。在三维空间中，它把三维坐标(X, Y, Z)提升到了四维的射影空间中(X, Y, Z, W)，对应的线性变换就是射影变换。齐次坐标转回三维空间坐标分两种情况，如果W为0，则(X, Y, Z)表示三维空间中的一个方向，如果W不为0，则对应的三维点坐标为(X/W, Y/W, Z/W)。齐次坐标表示有两个好处：一个是可以区分向量和点，另一个是齐次坐标下的矩阵可以表示平移变换。

  • 透视变换：一般的射影变换是一个4X4的矩阵变换，如下图1所示，它可以表示射影空间中任意的线性变换，如透视变换。
  • 仿射变换：如果把矩阵元素做一些限制到下图2，则为一个仿射变换。它可以表示三维空间中任意的线性变换。
  • 刚体变换：如果把图2的a元素的矩阵块限制为正交矩阵块r，如下图3所示，它就变成了一个刚体变换。它可以表示旋转变换和平移变换。
    • transform matrix

    四元数

    四元数是二维空间的复数x + y * i在四维空间的推广x * i + y * j + z * k + w。复数可以很方便的表示二维空间的旋转变换，很自然的，人们想把它推广到三维空间，比如x * i + y * j + z。但是人们尝试过各种三维推广后，都失败了，主要原因是三维的复数不能满足代数上的一些性质。后来，爱尔兰数学家Hanmilton把复数成功推广到四维空间，也就是四元数：x * i + y * j + z * k + w，其中i * i = -1，j * j = -1，k * k = -1。四元数可以方便的表示三维空间中绕任意轴旋转的变换。所以，我们常用它来计算三维空间的旋转变换，只是一种计算方法而已。

    欧拉角

    欧拉角可以用于描述三维旋转变换。它将旋转分解成分别绕三个坐标轴旋转一定角度的组合。如下面的旋转可以分解为：R = Rz(a) * Rx(b) * Ry(r)

    eular angle

    在一些应用领域，也常用yaw, pitch, roll来表示绕坐标轴的旋转，如图所示：

    eular angle