三维变形

三维变形广泛应用于计算机图形相关的各种应用里。常见的变形类型有：

基于控制网格的变形

Laplacian网格编辑

空间分片刚性变形

这类变形的基本思想，是基于这么一个表示：模型 = 控制网格 * 基于控制网格的坐标

变形的基本方法有两步：首先构造控制网格，然后计算出模型基于控制网格的坐标。在变形的时候，用户通过操作控制网格，来达到模型的相应变形。

控制网格是模型的一个简单近似，它比较容易编辑操作。常见的控制网格有三角形网格，四边形网格。

基于控制网格的坐标，一般具有各自的特点，常见的有这么几类：

Mean Value Coordinates：全局空间的一个仿射变换，计算速度快。

Harmonic Coordinates：基于局部空间的一个调和变换。如下图所示，左图是原始模型，中间是MVC的变形结果，右图是HC的变形结果。明显可以看出，在控制网格局部凹陷比较严重的区域，基于局部空间的变形结果优于基于全局空间的变形。

Green Coordinates：基于局部空间的一个近似刚性变换。如下图所示，左图是原始模型，中间是GC的变形结果，右图是MVC的变形结果。明显可以看出，GC的结果在保持模型的刚性上具有一定的优势。

网格微分坐标：如下图所示，它刻画网格的局部细节，也就是信号处理里的高频信号。网格在变形的过程中，尽量保持住局部的微分坐标不变，就能保持住网格的局部细节。

微分坐标可以应用于各种网格编辑操作，如细节转移：

细节混合：

网格移植：

基于控制点的变形，原理是分片刚性变形。在点云中采样N个控制点，每个控制点附着一个刚性变换。控制点越多，变形的非刚性越强。控制点数为1的时候，即为刚性变形。

在三维变形应用里，导入需要变形的点云。注：也可以导入网格，因为网格也可以看作是一个点云（抛掉网格连接关系）

初始化控制点：设置控制点数目，默认值为300. 点数越多，变形越精确，但是速度也会越慢。如图a所示。

控制点选择：控制点分为两种类型，一种是固定的(红色)，一种是可以动的(蓝色). 把需要变形区域的控制点选择为蓝色. 选择方式是通过鼠标右键框选添加或者去掉控制点。如图b所示

变形操作：通过移动蓝色控制点来变形。右键拖动控点到目标位置，控制点变为绿色，目标位置为灰色。如图c所示。

最后变形，如图d所示